| , т. е. Р. вида
[2233-49.jpg]
где un1,n2,...,nk - заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами п1, n2, ...,nk, каждый из к-рых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа - двойные ряды.
Для нек-рых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, напр., при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Напр., для суммы геометрич. прогрессии (2)
[2233-50.jpg]
для Р. (7) при сделанных предположениях
[2233-51.jpg]
а для Р. (10)
[2233-52.jpg]
С помощью нек-рых специальных преобразований иногда удаётся "улучшить" сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, напр., расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к 'Ь-
Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции иn= uп(х) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения к-рых принадлежат какому-то метрич. пространству), определённые на нек-ром множестве Е. В этом случае ряд
[2233-53.jpg]
наз. функциональным.
Если Р. (11) сходится в каждой точке множества Е, то он называется сходящимся на множестве Е.
Пример: Р.
[2233-54.jpg]
сходится на всей комплексной плоскости. Сумма сходящегося Р. непрерывных, напр., на нек-ром отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при к-рых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемое™ и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. Сходящийся Р. (11) называется равномерно сходящимся на множестве Е, если во всех точках Е отклонение частичных сумм Р.
[2233-55.jpg]
при достаточно больших номерах п от суммы Р.
[2233-56.jpg]
не превышает одной и той же сколь угодно малой величины, точнее, каково бы ни было наперёд заданное число е > 0, существует такой номер пe, что
[2233-57.jpg]
для всех номеров п >= nЕи всех точек х принадлежит Е. Это условие равносильно тому, что
[2233-58.jpg]
равномерно сходится на отрезке [0, q] при 0 < q < 1 и не сходится равномерно на отрезке [О, 1].
Критерий Коши: для того чтобы Р. (11) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовал такой номер' пе, что для всех номеров п>=nе, р>=0 и всех точек х принадлежит Е выполнялось неравенство
[2233-59.jpg]
Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся числовой Р.
[2233-60.jpg]
то Р. (11) равномерно сходится на Е.
Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных на нек-ром отрезке (или, более общо, на нек-ром топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р. интегрируемых на нек-ром множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится в среднем к нек-рой интегрируемой функции, то интеграл от этой функции равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин нек-рой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на нек-ром отрезке Р. (11) дифференцируемы на нём и Р. из их производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом отрезке и Р. можно почленно дифференцировать .
Понятие функционального Р. обобщается и на случай кратных Р. В различных разделах математики и её приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные ряды, тригонометрические ряды и, более общо, в Р. по специальным функциям некоторых операторов.
К понятию бесконечных сумм подошли ещё учёные Др. Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрич. прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р. вошёл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р. успешно развивалась в 18 - 19 вв. в работах Я. и И. Берну лли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Д'Аламбера, Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р. была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Болъцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и др.
Лит. : М а р к у ш е в и ч А. И. , Ряды. Элем |
