|
[2233-21.jpg]
сходятся, то сходится и Р.
[2233-22.jpg]
называемый суммой рядов (1) и (6), причём его сумма равна сумме данных Р. Если Р. (1) сходится и X - комплексное число, то Р.
[2233-23.jpg]
называемый произведением Р. на число X, также сходится и
[2233-24.jpg]
Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, напр., сумма Р. неизвестна), даёт критерий Коши: для того чтобы Р. (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого e > 0 существовал такой номер пe, что при любом n >= nе и любом целом р >=0 выполнялось неравенство
[2233-25.jpg]
Отсюда следует, что если Р. (1) сходится, то
[2233-26.jpg]
Обратное неверно: я-й член т. н. гармонического ряда
[2233-27.jpg]
стремится к нулю, однако этот Р. расходится.
Большую роль в теории Р. играют Р. с неотрицательными членами. Для того чтобы такой Р. сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то
[2233-28.jpg]
поэтому в этом случае пишут:
[2233-29.jpg]
Для Р. с неотрицательными членами имеется ряд признаков сходимости.
Интегральный признак сходимости: если функция f (x) определена при всех х >= 1, неотрицательна и убывает, то Р.
[2233-30.jpg]
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
[2233-31.jpg]
С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.
[2233-32.jpg]
сходится при а > 1 и расходится при а =< 1.
Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 =< uп =< cvn, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) - расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/пa. Таким методом сразу получается, что Р. с к-м членом
[2233-33.jpg]
Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если
[2233-34.jpg]
то при l < 1 Р. (1) сходится, а при l > 1 Р. расходится. При l=1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.
Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.
[2233-35.jpg]
Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.
[2233-36.jpg]
абсолютно сходится, а Р.
[2233-37.jpg]
сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть
[2233-38.jpg]
- Р., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений umvn членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s1и s2, то s = s1s2, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.
Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.
[2233-39.jpg]
Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:
[2233-40.jpg]
то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Напр., признак Лейбница: если
[2233-41.jpg]
то знакочередующийся Р.
[2233-42.jpg]
сходится. Более общие признаки можно получить, напр., с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде
[2233-43.jpg]
Признак Абеля: если последовательность {ап} монотонна и ограничена, а Р.
[2233-44.jpg]
сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {аn} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.
[2233-45.jpg]
ограничена, то Р. (11) сходится. Напр., по признаку Дирихле Р.
[2233-46.jpg]
сходится при всех действительных а. Иногда рассматриваются Р. вида
[2233-47.jpg]
Такой Р. называется с х од я щ и м с я, если сходятся Р.
[2233-48.jpg]
сумма этих Р. называется суммой исходного Р.
Р. более сложной структуры являются кратные ряды |
