| ся проверка точности построенной эмпирической регрессионной зависимости и проверка гипотез о параметрах регрессионной модели. В этом случае построение доверительных интервалов для истинных коэффициентов регрессии Bо, ..., Bm и проверка гипотезы об отсутствии регрессионной связи (Bi = 0, i = 1, ..., т ) производится с помощью Стъюдента распределения.
В более общей ситуации результаты наблюдений y1, ..., уn рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями и матема-тич. ожиданиями
Еy1 = B1xji + ... + Bkxki, i = 1, ..., n,
где значения xji, j = 1, ..., k предполагаются известными. Эта форма линейной модели регрессии является общей в том смысле, что к ней сводятся модели более высоких порядков по переменным х1, ..., xk. Кроме того, нек-рые нелинейные относительно параметров Bi модели подходящим преобразованием также сводятся к указанной линейной форме.
Р. а. является одним из наиболее распространённых методов обработки результатов наблюдений при изучении зависимостей в физике, биологии, экономике, технике и др. областях. На модели Р. а. основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализ и планирование эксперимента; модели Р. а. широко используются в статистическом анализе многомерном.
Лит.: Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Айвазян С. А., Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. См. также лит. при ст. Регрессия. А. В. Прохоров.
РЕГРЕССИЯ моря (от лат. regressio - обратное движение, отход), отступание моря от берегов. Происходит в результате поднятия суши, опускания дна океана или уменьшения объёма воды в океанич. бассейнах (напр., во время ледниковых эпох). Р. происходили многократно в различных районах Земли на протяжении всей её истории. См.. также Трансгрессия.
РЕГРЕССИЯ в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения к.-л. величины от нек-рой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f (х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = xi наблюдается niзначений yi1, ..., yini величины у, то зависимость средних арифметических yi = = (уi1+ ... + уini)/ni от xi и является Р. в статистич. понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.
Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины X и У, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении X = х величина У является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины У по величине X определяется условным математич. ожиданием У, вычисленным при условии, что X = х:
Е(У | х) = и(х).
Уравнение у = и (х), в к-ром х играет роль "независимой" переменной, наз. уравнением регрессии, а соответствующий график - линией регрессии величины У по X. Точность, с к-рой уравнение Р. У по X отражает изменение У в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины У, вычисленной для каждого значения X = х:
D(У | х) = o2(x).
Если o2 (х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что У и X связаны строгой функциональной зависимостью У = и (X). Если o2(х) не равно 0 при всех значениях х и и (х) не зависит от х, то говорят, что Р. У по X отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. X по У и, в частности, уравнение Р. х = v (у), где v (у) = = Е (Х|У = у). Функции у = и (х) и х = v (у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.
Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математич. ожидания Е [У - f(X)]2 достигается для функции f(x) = и(х), т. е. Р. У по X даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины У по величине X. Это свойство используется для прогноза У по X: если значение У непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту X вектора (X, У), то в качестве прогнозируемого значения У используют величину и (X).
Наиболее простым является тот случай, когда Р. У по X линейна:
Е(У| х) = Bо + B1x.
Коэффициенты Bo и B1, наз. коэффициентами регрессии, определяются равенствами
[2140-17.jpg]
где mx и ту - математич. ожидания X и Y, ох2 и оу2 - дисперсии X и У,
а р - коэффициент корреляции между X и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой
[2140-18.jpg]
В случае, к |
